數學(A)

(10%) Which one of the following graphs has an Eulerian cycle?

（每個圖形皆以頂點的圓點與相連線段表示；線段交叉處若無圓點，代表兩線並未在該處相交於同一頂點。）

• (A) 6 個頂點 $\{1,2,3,4,5,6\}$（依序為上、左、中、右上、右下、下），邊集：$\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{1,5\},\{2,3\},\{2,6\},\{3,4\},\{3,5\},\{3,6\},\{4,5\},\{4,6\},\{5,6\}$。各頂點度數：$4,3,5,4,4,4$（頂點 2 與頂點 3 為奇度數）。
• (B) 6 個頂點 $\{1,2,3,4,5,6\}$（依序為左、左上、右上、左下、右下、右）。邊集：$\{1,2\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{3,6\},\{4,5\},\{5,6\}$（其中 $\{2,5\}$ 與 $\{3,4\}$ 為交叉對角線，交叉處無頂點）。各頂點度數：$2,4,4,4,4,2$，全部為偶數。
• (C) 5 個頂點 $\{1,2,3,4,5\}$（依序為上、左、中、右、下）。邊集：$\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{2,5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\}$。各頂點度數：$2,3,4,2,3$（頂點 2 與頂點 5 為奇度數）。
• (D) 6 個頂點：外圍 5 個頂點 $\{1,2,3,4,5\}$（依序為上、左、左下、右下、右）構成一個五邊形，加上中心頂點 $6$。邊集：五邊形邊 $\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\},\{5,1\}$，以及中心輻條 $\{6,1\},\{6,2\},\{6,3\},\{6,4\},\{6,5\}$。外圍頂點度數皆為 $3$，中心頂點度數為 $5$，全部為奇數。
• (E) 6 個頂點 $\{1,2,3,4,5,6\}$（依序為左、左上、右上、左下、右下、中）。邊集：$\{1,2\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,6\},\{3,5\},\{3,6\},\{4,5\},\{4,6\},\{5,6\}$。各頂點度數：$2,4,3,4,3,4$（頂點 3 與頂點 5 為奇度數）。